Willibald-Gluck-Gymnasium

Die Messung der Gravitationskonstanten – ein Projekt von interessierten Schülern aus unseren 11. Klassen

Autor: S. Lindner

Einleitung:

Die Messung der Gravitationskonstante steht nicht im Lehrplan der 11. Jahrgangsstufe des Gymnasiums (G9). Einzelne Schülerinnen und Schüler sind aber immer wieder begeistert, wenn sie hören, dass die winzigen Anziehungskräfte, die nach dem Gravitationsgesetz von Newton zwischen allen Körper wirken sollten, also auch z. B. zwischen zwei Schülerinnen oder Schülern, in der Schule gemessen werden können. Newton war davon überzeugt, dass diese Kräfte viel zu klein seien um jemals gemessen werden zu können.

Die Gravitation ist tatsächlich die bei weitem schwächste der vier Grundkräfte der Natur (neben der Gravitationskraft gibt es noch die starke und schwache Kernkraft und die elektromagnetische Kraft). Trotzdem beherrscht sie als universelle Wechselwirkung zwischen allen Teilchen und Körpern mit Masse infolge ihrer unendlichen Reichweite das Geschehen im Universum: die Dynamik von Kleinkörpern und Planeten im Sonnensystem genau so wie die Vorgänge in den unvorstellbar großen Dimensionen von Galaxien und Galaxienhaufen. Das fundamentale physikalische Gesetz, nach dem sich punktförmig gedachte Massen stets anziehen, beschrieb erstmals Sir Isaak Newton um 1680.Albert Einstein entdeckte 1915 in seiner Allgemeinen Relativitätstheorie einen Zusammenhang zwischen der Gravitationskraft und der Geometrie von Raum und Zeit.

Im Physikunterricht der 11. Jahrgangsstufe des Gymnasiums lernen die Schülerinnen und Schüler das Gravitationsgesetz und die Gesetze von Kepler kennen und auf einfache Beispiele rechnerisch an zu wenden. Die experimentelle Bestimmung der Gravitationskonstanten G, die in Newtons Gesetz vorkommt und die Newton selber noch nicht messen konnte, ist zeitaufwändig. Die Ermittlung eines einigermaßen genauen Wertes dieser für die Astrophysik wichtigen Naturkonstanten mit Hilfe einer Torsions-Drehwaage eignet sich aber gut dazu, interessierte Schüler zu motivieren, experimentell tätig zu werden und damit Physik gründlicher zu verstehen. Über ein solches schon vor fast zwei Jahren begonnenes Projekt mit einigen Schülerinnen und Schülern unserer 11. Klassen möchte ich hier berichten.

Das Experiment und seine Geschichte:

Coulomb konstruierte 1784 eine sehr empfindliche Drehwaage. Sie wurde 1798 von Cavendish erstmals zur Bestimmung des Gravitationskonstanten G verwendet. Eine Gravitations-Drehwaage nach dem Prinzip von Coulomb und Cavendish ist auch in unserer Physiksammlung vorhanden (Abbildung 3). Jahrelang diente sie vorwiegend zu Demonstrationszwecken. Der empfindliche Torsionsfaden war gerissen und der für die Justierung des Torsionsbandes vorgesehene Drehknopf beschädigt. Für sinnvolle physikalische Messungen war das Gerät nicht mehr brauchbar. Am Ende des Schuljahrs 2004/2005 begeisterten sich einige Schüler der damaligen Klasse 11b für das von mir angedachte Projekt, unsere empfindliche Drehwaage zu reparieren und Messungen von G außerhalb des Unterrichts durchzuführen. Es dauerte geraume Zeit, bis ein neuer, geeigneter Metallfaden aus Bronze bestellt war und geliefert werden konnte. Für den Einbau des filigranen Bronzefadens in die Drehwaage konnten wir den Optikermeister Herrn Fritz Nidermayer aus Neumarkt gewinnen. Er bot uns bei allen Pannen und Problemen seine großzügige Unterstützung an. Bei dieser Gelegenheit möchte ich ihm auch im Namen der Schülerinnen und Schüler nochmals herzlich für seine Hilfsbereitschaft danken. Im neuen Schuljahr 2005/2006 bildete sich spontan eine aus zwei Schülern der ehemaligen 11b bestehende Arbeitsgruppe (Alexander Proksch und Sebastian Obermeyer). Die beiden Kollegiaten wollten nach der Reparatur der Drehwaage genaue Messungen der Gravitationskonstanten durchführen. Nachdem noch eine massive Steinplatte als Standort für Gravitationsdrehwaage an der Wand des Physiksaals befestigt worden war, konnten wir im Januar 2006 eine erste erfolgreiche Messung durchführen. Dann löste sich der dünne Metallfaden der Drehwaage erneut aus der Halterung. Nach dem Wiedereinbau hatten wir unerklärlicherweise große Schwierigkeiten, das Präzisionsinstrument mit der erforderlichen Genauigkeit zu justieren. Zeitaufwändige Justierversuche und mehr oder weniger erfolglose Messungen zogen sich bis in den Januar 2007 hin. In den Weihnachtsferien gelang es dann endlich, die Drehwaage so einzustellen, dass sie ab Januar 2007 zufriedenstellend für längere Zeit funktionierte – bis zum heutigen Tag (26. Juli 2007).

Alexander und Sebastian führten bis unmittelbar vor Beginn der intensiven Vorbereitungsphase für das Abitur einige Messungen durch. Sie bestimmten jeweils nach einer sorgfältigen Beobachtung der Gleichgewichtslage des Pendels möglichst genau seine Schwingungsdauer T, die Länge L des Lichtzeigers zur Beobachtung der Auslenkung des Pendels und den Abstand zwischen den beiden Gleichgewichtslagen des Systems (Endausschlag S) auf einem Beobachtungsschirm.

Inzwischen hatte ich wieder eine 11. Klasse (11e im Schuljahr 2006/2007) in Physik. Nun konnten wir die Messung der Gravitationskonstanten ohne große Vorbereitungszeit als ergänzendes Unterrichtsprojekt durchführen. Die Schüler Daniel Gottschalk, David Hink, Dominik Kraus, Michael Mosburger, Christoph Summersamer und Amadeus Trubig (siehe Foto 1) nahmen die Messwerte auf.

Foto 1 Foto 2

Auch einige andere Schülerinnen und Schüler der Klasse 11e beteiligten sich am Projekt. Foto 1 und 2: Schüler der Klasse 11e (Schuljahr 2006/2007)

Die Formel zur Bestimmung von G:

Aus den Eigenschaften eines Torsionspendels (physikalisches Prinzip der Drehwaage nach Cavendish, siehe Anhang) berechnet man den folgenden Zusammenhang zwischen der zu bestimmenden Gravitationskonstanten G und messbaren Größen (vergleiche auch Leybold, Gerätekarte 33210).

Formel 1

Die Bedeutung der einzelnen Größen in dieser Formel wird in der folgenden Tabelle dargestellt. Die zum Teil grob geschätzten bzw. durch genaue Messung ermittelten relativen Fehler sind in der letzten Spalte angegeben:

Tabelle 1:

pi Kreiszahl pi = 3,141
b Abstand der Mittelpunkte der Bleikugeln des Drehpendels b = 5,0cm Fehler: 3% (geschätzt)
d Abstand der kleinen Bleikugeln von der Drehachse (Torsionsfaden) d = 5,0cm Fehler: 0,5% (geschätzt)
m1 Masse einer großen Bleikugel m1 = 1,5kg Fehler: <0,1% (gemessen)
T Periodendauer des Drehpendels Messgröße Fehler: 2%
S Endausschlag: Abstand der Gleichgewichtslagen des Lichtzeigers auf einem Beobachtungsschirm Messgröße Fehler: 3%
L Länge des Lichtzeigers Messgröße Fehler: 0,5%

Gravitationsdrehwaage Die Gravitationsdrehwaage nach Cavendish

Foto 4

Alexander Proksch

Die Messwerte der Einzelmessungen und die Messergebnisse:

Tabelle 2:

T (min) 10,2 10,5 10,9 10,5 9,20 10,5
T (sec) 612 630 654 630 552 630
S (m) 0,24 0,23 0,28 0,26 0,23 0,34
L (m) 8,50 7,86 8,67 8,72 9,55 9,62
b (m) 0,0495 0,0495 0,0495 0,0496 0,0495 0,046
d (m) 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
m1 (kg) 1,50 1,50 1,50 1,50 1,50 1,50
Datum 16.01.2007 30.01.2007 06.03.2007 13.03.2007 07.07.2007 18.07.2007
G 6,08⋅10-11 5,94⋅10-11 6,09⋅10-11 6,08⋅10-11 6,37⋅10-11 6,20⋅10-11
G(korr) 6,61⋅10-11 6,46⋅10-11 6,62⋅10-11 6,61⋅10-11 6,93⋅10-11 6,74⋅10-11

G = 6,67⋅10-11

G ist der Mittelwert aus 6 korrigierten Einzelmessungen (siehe Formel 2 unten). Die Notwendigkeit einer Korrektur des nach obiger Formel 1 ermittelten Wertes von G ergibt sich aus der Tatsache, dass jede der beiden kleinen Kugeln des Drehpendels von jeder großen Kugeln angezogen wird. Aus geometrischen Überlegungen (siehe Leybold Gerätekartei 332 10) berechnet man die folgende Korrektur-Formel:

Formel 2

mit dem sich daraus ergebenden Korrekturfaktor 1,0873. Die korrigierten Werte von G stehen in der letzten Zeile der Tabelle 2. Der Mittelwert der von uns bestimmten Gravitationskonstanten beträgt somit

Formel 3.

Die Maßzahl des Mittelwertes unserer Messungen stimmt mit dem auf zwei gültige Ziffern gerundeten zur Zeit etablierten Laborwert

Formel 4

überein. Die relative Genauigkeit des Mittelwertes beträgt rund 4 %.

Diskussion der Messfehler und Genauigkeit der Messungen:

Die Gravitationskonstante kann in der Schule jedenfalls größenordnungsmäßig und im günstigsten Falle auf eine gültige Ziffer genau ermittelt werden. Die relative Genauigkeit des Mittelwertes beträgt nach unseren sehr optimistischen Schätzungen (Tabelle 1) rund 4 %. Der Gesamtfehler für eine Einzelmessung von G liegt bei sorgfältiger Fehleranalyse der einzelnen Messgrößen b, d, m1, T, S und L (siehe Tabelle 1) in der Gegend von 8 %. Das zeigen folgende Überlegungen:

Die Masse der großen Kugeln kann mit einer Genauigkeit von 1 ‰ oder weniger ermittelt werden. Der Abstand der kleinen Kugeln des Drehpendels von der Rotationsachse wird vom Hersteller mit 0,050 m angegeben. Eine mögliche relative Abweichung vom Herstellerwert wurde auf 0,5 % geschätzt. Die Messfehler von T, S und L betrugen bei unseren Messungen im Mittel 2 %, 0,5 % und 3 %. Damit lässt sich der relative Gesamt-Fehler für eine Einzelmessung von G berechnen. Es gilt:

Formel 5

Formel 6

Formel 7

Alle Maßzahlen unser Messungen liegen im erwarteten Intervall von [6,2⋅10-11; 7,2⋅10-11].

Die folgende Abbildung 1 zeigt ein Beispiel für die Auslenkung des Drehpendels und das exponentielle Abklingen der Amplitude in Abhängigkeit von der Zeit. Die hier dargestellte Elongation wurde mit Hilfe eines Lichtzeigers der Länge L auf einem Beobachtungsschirm im Abstand L von der Drehwaage in zeitlichen Abständen von 30 Sekunden abgelesen und mit Excel ausgewertet.

Auslenkung
Auslenkung des Drehpendels

Professionelle Messung der Gravitationskonstanten

Die Messung der Gravitationskonstanten ist auch heute noch – mehr als 200 Jahre nach Cavendish’s erstem Versuch – schwierig und die Messergebnisse sind im Vergleich zu anderen Naturkonstanten nicht besonders genau. Unumstritten sind – abgesehen vom relativ stark abweichenden Wert der Technischen Physikalisch Bundesanstalt in Braunschweig (siehe Tabelle 3) eigentlich nur die ersten drei Ziffern:

Formel 9

Der offizielle Literaturwert, der auch in physikalischen Formelsammlungen steht:

Formel 10

Nach Meinung der meisten Experten ist der zur Zeit genaueste Wert für die Gravitationskonstante

Formel 11

der 1982 von den amerikanischen Physikern Gabe Luther und William Towler bestimmt wurde. Die Genauigkeit dieser Messung wird zwar mit 64 ppm angegeben (1 ppm = 1 Millionstel = 0,0001 % ), die Abweichungen zu anderen Messungen betragen aber rund 0,5 % (siehe Tabelle 3). In nächster Zeit möchte man die Fehlergrenze für die Maßzahl von G bis auf 10 ppm reduzieren, um somit - wie die Physiker sagen - eine Größenordnung an Genauigkeit für diese wichtige Naturkonstante zu gewinnen.

Tabelle 3:

Labor G Genauigkeit in ppm
NIST (Luther, Williams) 6,67259(85) 64
Uni Zürich (F. Nolting) 6,6749(14) 210
PTB (1995) 6,71540(56) 83
Uni Wuppertal (199) 6,6735(913) 240
Karagoiz (Russland) 6,6729(5) 64

Internetadressen:

http://www.pi5.uni-stuttgart.de/lehre/hauptseminar2001/Gravitationskonstante/Gravitation_2ndversion.htm
http://de.wikipedia.org/wiki/Experiment
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~q61/gravitation.html